AI rozwiązuje zagadkę matematyczną sprzed 79 lat

Od dziesięcioleci matematycy głowili się nad pytaniem, czy sześciowymiarową sferę można w pełni opisać za pomocą liczb zespolonych. Zagadnienie postawione w 1947 roku przez niemieckiego uczonego Heinza Hopfa doczekało się teraz potencjalnego rozwiązania – i to dzięki sztucznej inteligencji. Levent Alpöge, matematyk związany z firmą Anthropic, wykorzystał wewnętrzną wersję dużego modelu językowego Claude, by zmierzyć się z problemem, który opierał się ludziom przez blisko osiem dekad.

To nie pierwszy taki sukces Alpöge. Wcześniej sięgnął po narzędzia AI, by zaatakować hipotezę Jacobianiego oraz odkryć dwie nowe krzywe eliptyczne. Teraz do listy osiągnięć dołączył problem Hopfa. Choć wynik wciąż czeka na pełną weryfikację, wstępne reakcje środowiska naukowego są zaskakująco przychylne.

Na czym polega problem Hopfa i dlaczego jest tak trudny

Aby zrozumieć wagę tego odkrycia, warto zacząć od podstaw. Niektóre obiekty geometryczne – jak zwykła sfera, czyli dwuwymiarowa powierzchnia zanurzona w trójwymiarowej przestrzeni – mają tak zwaną strukturę zespoloną. Oznacza to, że każdemu punktowi na powierzchni można w prosty sposób przypisać inną liczbę zespoloną, czyli taką, która zawiera pierwiastek z minus jeden.

Dlaczego to takie ważne? Liczby zespolone dają matematykom znacznie bogatszy zestaw narzędzi niż liczby rzeczywiste. Dzięki nim skomplikowane równania opisujące powierzchnię można sprowadzić do prostszych, wielomianowych form. To uproszczenie ma ogromne znaczenie praktyczne – przekłada się na łatwiejsze obliczenia i głębsze zrozumienie geometrii danego obiektu.

Pytanie, które przez dekady pozostawało bez odpowiedzi

Heinz Hopf w swojej pracy z 1947 roku wykazał, że sfery o wyższych wymiarach nie posiadają struktury zespolonej. Jednak w jednym przypadku nie potrafił tego dowieść – chodziło właśnie o sferę sześciowymiarową. Od tamtej pory badacze wielokrotnie próbowali rozstrzygnąć tę kwestię, przedstawiając argumenty zarówno za istnieniem takiej struktury, jak i przeciwko niej. Nikt jednak nie zdołał przedstawić przekonującego dowodu.

Jak AI poradziło sobie z zadaniem

23 sierpnia Alpöge opublikował dokument liczący ponad sto stron, w którym przedstawił domniemany dowód na to, że sześciowymiarowa sfera rzeczywiście ma strukturę zespoloną. Model AI wygenerował skomplikowaną strukturę trójwymiarową i wykazał, że dokładnie odpowiada ona sześciowymiarowej powierzchni sfery.

Niestety, sam dokument okazał się niezwykle trudny w odbiorze. Duże modele językowe mają tendencję do rozwlekłego tłumaczenia swoich rozumowań – skupiają się na drobiazgach, pomijając kluczowe kroki. To utrudnia czytelnikom samodzielną ocenę poprawności przedstawionego wywodu.

Głosy sceptycyzmu i potrzeba weryfikacji

Ilka Agricola z Uniwersytetu w Marburgu zwraca uwagę na typowy problem ogłoszeń płynących z firm technologicznych. Jak mówi, brakuje w nich informacji o tym, ile promptów było potrzebnych do uzyskania wyniku, jak duża była ingerencja człowieka i tak dalej. Jej zdaniem kluczowe jest teraz to, że społeczność matematyczna musi samodzielnie zweryfikować twierdzenie.

I rzeczywiście, matematycy wzięli się do pracy. W ciągu kilku dni udało im się zrekonstruować dowód. Robert L. Bryant z Duke University przyznaje, że w środowisku kształtuje się konsensus co do wiarygodności konstrukcji zaproponowanej przez model.

Weryfikacja krok po kroku i nowy obiekt geometryczny

27 sierpnia Philip Engel z University of Illinois Chicago opublikował na swojej stronie internetowej bardziej przystępne wyjaśnienie procesu, który przeszedł model. W podobnym czasie Boris Alexeev, badacz z OpenAI, sformalizował dowód, weryfikując jego poprawność krok po kroku za pomocą języka programowania Lean.

Engel podkreśla, że tego typu przykłady nowej geometrii są niezwykle rzadkie i cenne. Jak mówi, pojawił się nowy obiekt geometryczny, o którym teraz wiadomo i który można dalej badać. To otwiera przed matematykami zupełnie nowe możliwości eksploracji.

Kolejne kroki Alpöge i szerszy kontekst

Alpöge nie zwalnia tempa. W osobnej pracy, przygotowanej wspólnie z matematykiem Tristanem Buckmasterem, poczynił istotne postępy w kierunku rozwiązania problemu Naviera-Stokesa. Zagadnienie to niedawno trafiło na nagłówki gazet, gdy OpenAI ogłosiło, że znalazło jego rozwiązanie.

Warto zaznaczyć, że artykuł źródłowy, na podstawie którego powstał ten tekst, ukazał się pierwotnie w niemieckim wydaniu Spektrum der Wissenschaft. Został przetłumaczony z języka niemieckiego z wykorzystaniem narzędzi AI i zweryfikowany przez redakcję.

Co to oznacza dla przyszłości matematyki

Przypadek problemu Hopfa pokazuje, że duże modele językowe mogą odgrywać coraz większą rolę w rozwiązywaniu otwartych problemów matematycznych. Jednocześnie ujawnia ograniczenia tej technologii – wygenerowane dowody bywają chaotyczne i wymagają żmudnej weryfikacji przez ekspertów.

Kluczowe pytanie brzmi, czy AI stanie się stałym elementem warsztatu matematyka, czy pozostanie jedynie ciekawostką wspomagającą pracę w wyjątkowych przypadkach. Odpowiedź zależy od tego, jak szybko uda się wypracować metody weryfikacji i standaryzacji wyników generowanych przez modele. Na razie społeczność naukowa podchodzi do nich z ostrożnym entuzjazmem – otwarta na nowe możliwości, ale świadoma potrzeby rygorystycznej kontroli.

Źródło

Może Cię zainteresować