AI rozwiązuje "świętego Graala" teorii prawdopodobieństwa

Jak z pojedynczych, przypadkowych zdarzeń rodzi się uporządkowana struktura? To pytanie leży u podstaw teorii perkolacji – działu rachunku prawdopodobieństwa zajmującego się przepuszczalnością sieci. Przez dziesięciolecia matematycy próbowali dokładnie opisać moment przejścia, w którym sieć zmienia się z rozdrobnionej na w pełni połączoną. Problem ten uchodził za jedno z najtrudniejszych wyzwań tej dziedziny – aż do teraz, gdy rozwiązał go system sztucznej inteligencji.

Sprawa nabrała szczególnego wydźwięku, bo tuż przed przełomem francuski matematyk Hugo Duminil-Copin, laureat Medalu Fieldsa z 2022 roku, publicznie przyznał, że sam nie potrafił rozwiązać tego zagadnienia. Co więcej, ostrzegł, że to AI może wyprzedzić ludzi w tym wyścigu. Kilka dni później firma Anthropic opublikowała dowód wygenerowany przez duży model językowy (LLM – model sztucznej inteligencji trenowany na ogromnych zbiorach tekstu).

Czym jest teoria perkolacji i dlaczego spędzała sen z powiek matematykom

Teoria perkolacji narodziła się w 1957 roku za sprawą Simona Ralpha Broadbenta i Johna Michaela Hammersleya, którzy badali przepływ cieczy przez materiały porowate. Naukowcy stworzyli model matematyczny przypominający ogromny system rur połączonych w sieć – każdy punkt węzłowy odpowiada otworowi, a każde połączenie między nimi to kanał, który może być otwarty lub zamknięty.

Kluczowe pytanie brzmi: czy dany punkt sieci należy do nieskończonego, połączonego skupiska? Wyobraźmy sobie gigantyczną instalację rurową, gdzie każda rura jest otwarta z określonym prawdopodobieństwem p. Gdy p jest niskie, szansa na istnienie nieskończonego połączonego klastra (oznaczana jako θ(p)) wynosi zero. Gdy p rośnie, θ(p) również zaczyna przyjmować wartości dodatnie. W zależności od geometrii sieci istnieje wartość progowa pc, powyżej której prawdopodobieństwo θ(p) staje się większe od zera – to właśnie moment przejścia od sieci słabo połączonej do takiej, w której możliwe jest nieskończone połączenie.

Wyznaczenie wartości pc okazało się niezwykle trudne. W 1980 roku matematyk Harry Kesten ustalił taki próg dla dwuwymiarowej siatki kwadratowej, pokazując, że granicą między systemem niepołączonym a połączonym jest prawdopodobieństwo równe 1/2. Od tamtej pory udało się znaleźć zaledwie kilka takich progów, a większość ekspertów nie wierzyła, że można je wyznaczyć dokładnie dla wszystkich przypadków.

Na czym polegał problem, który pokonała sztuczna inteligencja

Prawdziwą zagadką teorii perkolacji było pytanie o charakter przejścia ze stanu, gdzie istnieją wyłącznie skończone skupiska, do stanu z klastrami nieskończonymi. Dla siatek jedno- i dwuwymiarowych matematycy od dawna wiedzieli, że to przejście jest ciągłe – wartość θ(p) nie skacze nagle z zera do liczby dodatniej, lecz rośnie płynnie wraz ze wzrostem p. Podobną ciągłość udało się wykazać dla uogólnionych siatek w wysokich wymiarach, gdzie punkty mają bardzo wiele sąsiadów, co pozwala na stosowanie metod statystycznego uśredniania niedostępnych w niższych wymiarach. Gdy sieci rozpatruje się w jedenastu lub więcej wymiarach, przejście również okazuje się ciągłe.

Problem dotyczył zatem wymiarów pośrednich – od trzeciego do dziesiątego. Jak dokładnie zmienia się θ(p) w miarę wzrostu p w tych konkretnych przypadkach? Model stworzony przez Anthropic wykazał, że również tutaj przejście ma charakter ciągły, potwierdzając przypuszczenia, które środowisko matematyczne formułowało od dziesięcioleci, lecz nie potrafiło udowodnić.

Jeśli komuś uda się rozwiązać ten problem, prawdopodobnie otrzyma Medal Fieldsa – mówił Benedikt Jahnel z Uniwersytetu Technicznego w Brunszwiku, opisując wagę tego zagadnienia dla całej dziedziny.

Sam Jahnel, komentując finalne rozwiązanie zagadki, przyznał, że wzbudziło ono w nim mieszane uczucia. Z jednej strony cieszył się, że hipoteza wreszcie doczekała się dowodu, z drugiej – odczuwał pewne rozczarowanie, że decydujący krok wykonała maszyna, a nie człowiek.

Co przełom oznacza dla przyszłości matematyki jako nauki

Fakt, że problem potencjalnie wart Medalu Fieldsa rozwiązała sztuczna inteligencja, rodzi pytania o przyszły kształt nagród naukowych. Jahnel zastanawia się, czy takie wyróżnienia w ogóle będą miały sens w nowej rzeczywistości i kto ewentualnie miałby je odbierać. Jak zauważa, Medale Fieldsa często – choć nie zawsze – przyznawano właśnie za udowadnianie twierdzeń, więc pytanie, czy jeszcze kiedykolwiek trafi on w ręce człowieka, pozostaje otwarte.

Być może konieczne stanie się przedefiniowanie nie tylko systemu nagród, ale i samej matematyki jako dyscypliny. Jahnel podkreśla, że współcześni matematycy już dawno przestali budować swoją tożsamość zawodową wyłącznie na dowodzeniu hipotez. Dziedzina ta obejmuje znacznie więcej – formułowanie nowych pytań badawczych, przekładanie abstrakcyjnych dowodów na zrozumiały język, czy wreszcie włączanie nowej wiedzy do podręczników akademickich.

Pytanie matematyczne to coś znacznie więcej niż twierdzenie czekające na dowód – to latarnia morska w ciemną noc, która oświetla i prowadzi matematyków w ich poszukiwaniach, zarówno estetycznych, jak i naukowych – napisał Hugo Duminil-Copin w swoim eseju.

Duminil-Copin argumentował również, że prawdziwe zrozumienie problemu rodzi się nie tylko z gotowych dowodów, ale także z porażek po drodze. W jego własnej karierze liczne próby znalezienia rozwiązania problemu perkolacji – choć nieudane – prowadziły do innych cennych odkryć naukowych. Pozostaje mieć nadzieję, że tego typu poboczne odkrycia nie znikną wraz z rosnącym udziałem modeli AI w pracy matematycznej.

Przypadek teorii perkolacji pokazuje, że granica między ludzką a maszynową twórczością naukową zaciera się szybciej, niż większość badaczy się spodziewała. Dla środowiska matematycznego to moment refleksji – nie tylko nad rolą AI w rozwiązywaniu konkretnych problemów, ale nad sensem i przyszłością całej dyscypliny, w której przez wieki to właśnie ludzki intelekt był jedynym narzędziem odkrywania prawdy.